MECHANICS / 3D INTERACTIVE LAB · 10

V 形槽中的圆柱滑块

三维接触 · 牛顿动力学
原题状态 · 匀速下滑拖动旋转 · 滚轮缩放 · 右键 / Shift 拖动平移
蓝色：支持力 N₁ / N₂　橙色：滑动摩擦力 f₁ / f₂　灰色：重力 mg
两杆固定，圆柱沿轴向平移；粗细与长度用于空间示意
时间 0.00 s
0.00m/s²
0.60m/s
0.00m

沿槽观察 · 接触截面

β 是两接触半径的夹角

受力分解

每杆支持力 N8.66 N
每杆摩擦力 f = μN2.50 N
重力沿槽分量 mg sin θ5.00 N
总摩擦力 2f5.00 N

N 指向圆柱轴线；f 与沿槽速度相反。箭头长度按各力大小绘制。

V 形槽 · 题目与推导

题目条件

由两圆杆构成的 V 形槽与水平面成 θ 角。质量为 m 的圆柱体滑块沿槽恰好匀速滑下。沿斜面看，圆柱中心到两个接触点的半径夹角 β = 120°。滑块与两杆间的动摩擦系数均为 μ，重力加速度为 g。判断：A. μ = tan θ；B. 减小 β，滑块加速下滑；C. 增大 θ，右杆支持力增大；D. 增大 θ，右杆摩擦力增大。

1 · 截面内的平衡

两侧对称，每根圆杆对圆柱的支持力大小相同，记为 N。支持力沿接触法线指向圆柱轴线，与截面内向上的中线夹角为 β/2。横向分量抵消，垂直于槽方向的分量平衡重力分量。

2N cos(β/2) = mg cos θ
N = mg cos θ / [2cos(β/2)]

2 · 沿槽方向的运动

圆柱沿轴线向下滑动，两处滑动摩擦力均沿槽向上，每处为 f = μN。沿槽向下取正：

ma = mg sin θ − 2μN
a = g[sin θ − μcos θ / cos(β/2)]

匀速时 a = 0，因此：

μ = cos(β/2) tan θ
β = 120° ⇒ μ = ½tan θ

3 · 四个选项

A 错误：漏掉 cos(β/2)，实际为 μ = ½tan θ。

B 正确：保持 θ 和 μ 不变，减小 β，cos(β/2) 增大，每杆支持力及总摩擦力减小，重力沿槽分量不变，故沿槽合力向下，圆柱加速。

C 错误：保持 β 不变，增大 θ，cos θ 减小，右杆支持力 N 减小。

D 错误：μ 固定，f = μN 随 θ 增大而减小。

仿真与题设的关系

  1. 真实 WebGL 三维几何，圆柱轴线与圆杆平行。两根圆杆的中心间距随 β 调整，使圆柱与圆杆保持相切。截面图与三维模型采用同一个 β。
  2. 圆杆固定、圆柱刚性，演示轴向平移，不引入滚动运动。两处支持力由对称性与垂直槽方向平衡求解。
  3. 采用牛顿第二定律、库仑滑动摩擦和恒加速度精确积分。改变 θ 或 β 时重置运动，始终使用同一个动摩擦系数。
  4. 题设没有给具体 m、g、θ，演示以 m = 1 kg、g = 10 m/s²、θ₀ = 30° 定标，取 μ = ½tan 30°；圆柱半径 0.45 m、杆半径 0.065 m、演示行程 4.8 m 仅用于建模展示。
  5. “从顶端释放且匀速下滑”在严格静止释放模型中存在初速问题：若初速为零且 a = 0，不会自行开始运动。这里展示已进入滑动后的匀速状态，给定沿槽初速度 0.60 m/s，不虚构未知的静摩擦系数。
  6. 若调整后减速至零，演示在该时刻停止；后续是否静止或重新起动，需要题目未给出的静摩擦条件。到达演示行程终点也会暂停，不模拟掉落。
  7. 接触点标记位于接触线中部。支持力、摩擦力箭头表示两条接触线的合力，重力作用于质心。图中没有把摩擦力错误地画为截面内的力。